Ejercicios resueltos de funciones armónicas

$\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 6x$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -6xy$

$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -6x$

$\nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 6x + (-6x) = 0$ $\checkmark$

Por tanto, $u(x,y)$ es armónica.

Para que $f(z) = u + iv$ sea analítica, debe satisfacer:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ y $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$

Integrando respecto a $y$:

$v(x,y) = \int (3x^2 - 3y^2) dy = 3x^2y - y^3 + g(x)$

donde $g(x)$ es una función que depende solo de $x$.

$\frac{\partial v}{\partial x} = 6xy + g'(x)$

De la segunda condición: $\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} = -(-6xy) = 6xy$

Por tanto: $6xy + g'(x) = 6xy$, lo que implica $g'(x) = 0$

$g(x) = C$ (constante)

La función conjugada armónica es:

$v(x,y) = 3x^2y - y^3 + C$

$f(z) = u + iv = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3 + C)$

Notamos que $f(z) = z^3 + iC$ donde $z = x + iy$, ya que:

$z^3 = (x + iy)^3 = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3)$

Por tanto, la conjugada armónica es $v(x,y) = 3x^2y - y^3$ (tomando $C = 0$).

Sea $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. La ecuación de Laplace en coordenadas polares es:

$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} = 0$

Sea $u(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta)$. Sustituyendo:

$\frac{\Theta(\theta)}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) + \frac{R(r)}{r^2}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2} = 0$

Multiplicando por $\frac{r^2}{R(r)\Theta(\theta)}$:

$\frac{r}{R(r)}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) + \frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2} = 0$

$\frac{r}{R(r)}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) = -\frac{1}{\Theta(\theta)}\frac{d^2\Theta}{d\theta^2} = \lambda$

Esto da dos ecuaciones:

$\frac{d^2\Theta}{d\theta^2} + \lambda\Theta = 0$

$r\frac{d}{dr}\left(r\frac{dR}{dr}\right) - \lambda R = 0$

Como $\Theta(\theta)$ debe ser periódica con período $2\pi$:

$\Theta(\theta + 2\pi) = \Theta(\theta)$

Esto requiere $\lambda = n^2$ donde $n = 0, 1, 2, ...$

Para $n = 0$: $\Theta_0(\theta) = 1$

Para $n \geq 1$: $\Theta_n(\theta) = A_n\cos(n\theta) + B_n\sin(n\theta)$

Para $\lambda = n^2$, la ecuación radial es:

$r^2\frac{d^2R}{dr^2} + r\frac{dR}{dr} - n^2R = 0$

Esta es una ecuación de Euler. Para $n = 0$: $R_0(r) = A_0 + B_0\ln r$

Para $n \geq 1$: $R_n(r) = C_n r^n + D_n r^{-n}$

Para que $u$ sea finita en $r = 0$:

• $B_0 = 0$ (para evitar $\ln r \to -\infty$)
• $D_n = 0$ (para evitar $r^{-n} \to \infty$)

Por tanto: $R_0(r) = A_0$ y $R_n(r) = C_n r^n$

$u(r,\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} r^n[a_n\cos(n\theta) + b_n\sin(n\theta)]$

En $r = 1$: $u(1,\theta) = f(\theta)$

$f(\theta) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\theta) + b_n\sin(n\theta)]$

Los coeficientes se obtienen de la serie de Fourier de $f(\theta)$:

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\cos(n\theta)d\theta$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta)\sin(n\theta)d\theta$

$u(r,\theta) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\phi) \frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2} d\phi$

Esta es la fórmula integral de Poisson para el disco unitario.

Teorema: Sea $u$ armónica en un dominio conexo acotado $D$ y continua en $\overline{D}$. Entonces:

1. $\max_{\overline{D}} u = \max_{\partial D} u$
2. $\min_{\overline{D}} u = \min_{\partial D} u$

Supongamos que existe un punto $x_0 \in D$ tal que:

$u(x_0) = \max_{\overline{D}} u > \max_{\partial D} u$

Sea $M = u(x_0)$, $m = \max_{\partial D} u < M$ y $R = \max_{x \in \overline{D}} |x - x_0|$ (finito porque $D$ es acotado). Definimos $v(x) = u(x) + \varepsilon |x - x_0|^2$ con $0 < \varepsilon < \frac{M - m}{R^2}$.

Calculamos: $\nabla^2 v = \nabla^2 u + \varepsilon \nabla^2(|x - x_0|^2) = 0 + \varepsilon \cdot 2d = 2d\varepsilon > 0$

donde $d$ es la dimensión del espacio.

Como $\nabla^2 v > 0$, la función $v$ es subarmónica.

En $x_0$: $v(x_0) = u(x_0) = M$

Para $x \in \partial D$: $v(x) \leq m + \varepsilon R^2 < M = v(x_0)$

Como $v$ es continua en el compacto $\overline{D}$, alcanza su máximo; por lo anterior, ese máximo está en un punto interior $x_1 \in D$.

En un máximo interior se cumple $\frac{\partial^2 v}{\partial x_i^2}(x_1) \leq 0$ para cada $i$, luego $\nabla^2 v(x_1) \leq 0$.

Esto contradice $\nabla^2 v = 2d\varepsilon > 0$. Por tanto, nuestra suposición inicial es falsa.

Por tanto, no puede existir $x_0 \in D$ tal que $u(x_0) > \max_{\partial D} u$.

Esto implica que $\max_{\overline{D}} u = \max_{\partial D} u$.

Aplicando el mismo argumento a $-u$ (que también es armónica), obtenemos:

$\min_{\overline{D}} u = \min_{\partial D} u$

1. Unicidad: La solución del problema de Dirichlet es única.
2. Estabilidad: Pequeños cambios en los datos de frontera producen pequeños cambios en la solución.
3. Interpretación física: En problemas de equilibrio térmico, la temperatura máxima y mínima se alcanzan en la frontera.

La función de Green $G(x,y; \xi,\eta)$ para el dominio $D$ satisface:

1. $\nabla^2 G(x,y; \xi,\eta) = \delta(x-\xi)\delta(y-\eta)$ para $(x,y) \in D$
2. $G(x,y; \xi,\eta) = 0$ para $(x,y) \in \partial D$

La solución del problema $\nabla^2 u = f$ con $u|_{\partial D} = g$ está dada por:

$u(x,y) = \iint_D G(x,y; \xi,\eta) f(\xi,\eta) d\xi d\eta$

$+ \oint_{\partial D} g(\xi,\eta) \frac{\partial G}{\partial n}(\xi,\eta; x,y) ds$

donde $\frac{\partial}{\partial n}$ es la derivada normal exterior.

Consideramos la segunda identidad de Green:

$\iint_D (v\nabla^2 w - w\nabla^2 v) dA = \oint_{\partial D} \left(v\frac{\partial w}{\partial n} - w\frac{\partial v}{\partial n}\right) ds$

$\iint_D (u\nabla^2 G - G\nabla^2 u) dA = \oint_{\partial D} \left(u\frac{\partial G}{\partial n} - G\frac{\partial u}{\partial n}\right) ds$

$\nabla^2 G = \delta(x-\xi)\delta(y-\eta)$ y $\nabla^2 u = f$

$G = 0$ en $\partial D$ y $u = g$ en $\partial D$

$\iint_D (u \delta(x-\xi)\delta(y-\eta) - G f) dA = \oint_{\partial D} g \frac{\partial G}{\partial n} ds$

$u(\xi,\eta) - \iint_D G f dA = \oint_{\partial D} g \frac{\partial G}{\partial n} ds$

$u(\xi,\eta) = \iint_D G(\xi,\eta; x,y) f(x,y) dx dy + \oint_{\partial D} g(x,y) \frac{\partial G}{\partial n}(\xi,\eta; x,y) ds$

Para el disco unitario $x^2 + y^2 < 1$, la función de Green es:

$G(r,\theta; \rho,\phi) = \frac{1}{2\pi}\ln|z - w| - \frac{1}{2\pi}\ln\left(|w|\,\left|z - \frac{1}{\bar{w}}\right|\right)$

donde $z = re^{i\theta}$, $w = \rho e^{i\phi}$, y $\frac{1}{\bar{w}} = \frac{1}{\rho}e^{i\phi}$ es la reflexión de $w$ respecto al círculo unitario (el factor $|w|$ garantiza $G = 0$ en $|z| = 1$).

1. Si $f = 0$ (problema de Dirichlet puro):

$u(x,y) = \oint_{\partial D} g(\xi,\eta) \frac{\partial G}{\partial n}(\xi,\eta; x,y) ds$

2. Si $g = 0$ (condiciones homogéneas):

$u(x,y) = \iint_D G(x,y; \xi,\eta) f(\xi,\eta) d\xi d\eta$