Ejercicios resueltos de series de Fourier

$f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$, por tanto la función es par.

Para funciones pares: $b_n = 0$ y solo necesitamos calcular $a_0$ y $a_n$.

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |x|dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{x^2}{2}\Big|_0^{\pi} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \pi$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |x|\cos(nx)dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos(nx)dx$

Sea $u = x$, $dv = \cos(nx)dx$

Entonces $du = dx$, $v = \frac{\sin(nx)}{n}$

$\int_0^{\pi} x\cos(nx)dx = \left[x \cdot \frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{n}dx$

$= \frac{\pi \sin(n\pi)}{n} - \frac{1}{n}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}$

$= 0 - \frac{1}{n^2}[\cos(n\pi) - \cos(0)]$

$= -\frac{1}{n^2}[(-1)^n - 1]$

$a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \left(-\frac{1}{n^2}[(-1)^n - 1]\right) = -\frac{2}{\pi n^2}[(-1)^n - 1]$

Para $n$ par: $(-1)^n = 1$, así $a_n = 0$

Para $n$ impar: $(-1)^n = -1$, así $a_n = -\frac{2}{\pi n^2}[-2] = \frac{4}{\pi n^2}$

$f(x) = |x| = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx)$

$= \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1{,}3{,}5,...} \frac{4}{\pi n^2}\cos(nx)$

$= \frac{\pi}{2} + \frac{4}{\pi}\left[\cos(x) + \frac{\cos(3x)}{9} + \frac{\cos(5x)}{25} + \cdots\right]$

La función tiene período $T = 2$, así que $L = 1$ y $\omega = \frac{\pi}{L} = \pi$.

La serie de Fourier es:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n\cos(n\pi x) + b_n\sin(n\pi x)]$

$a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)dx = \int_{-1}^{1} e^x dx = e^x\Big|_{-1}^{1} = e - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$

$a_n = \int_{-1}^{1} e^x \cos(n\pi x)dx$

Usando integración por partes dos veces:

Sea $u = e^x$, $dv = \cos(n\pi x)dx$

Después de dos integraciones por partes:

$\int e^x \cos(n\pi x)dx = \frac{e^x[1 \cdot \cos(n\pi x) + n\pi \sin(n\pi x)]}{1 + n^2\pi^2}$

$a_n = \frac{1}{1 + n^2\pi^2}\left[e^x[\cos(n\pi x) + n\pi \sin(n\pi x)]\right]_{-1}^{1}$

$= \frac{1}{1 + n^2\pi^2}[e(\cos(n\pi) + n\pi \sin(n\pi)) - e^{-1}(\cos(-n\pi) + n\pi \sin(-n\pi))]$

Como $\sin(n\pi) = 0$ y $\cos(n\pi) = (-1)^n$:

$a_n = \frac{(-1)^n(e - e^{-1})}{1 + n^2\pi^2} = \frac{2(-1)^n\sinh(1)}{1 + n^2\pi^2}$

$b_n = \int_{-1}^{1} e^x \sin(n\pi x)dx$

Usando integración por partes similar:

$b_n = \frac{1}{1 + n^2\pi^2}[e^x[\sin(n\pi x) - n\pi \cos(n\pi x)]]_{-1}^{1}$

$= \frac{1}{1 + n^2\pi^2}[-n\pi e(-1)^n - (-n\pi e^{-1}(-1)^n)]$

$= \frac{-n\pi(-1)^n(e - e^{-1})}{1 + n^2\pi^2} = \frac{-2n\pi(-1)^n\sinh(1)}{1 + n^2\pi^2}$

$e^x = \frac{e - e^{-1}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n\sinh(1)}{1 + n^2\pi^2}[\cos(n\pi x) - n\pi\sin(n\pi x)]$

$= \sinh(1) + 2\sinh(1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1 + n^2\pi^2}\cos(n\pi x) - 2\pi\sinh(1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^n}{1 + n^2\pi^2}\sin(n\pi x)$

$[f(x)]^2 = \left[\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))\right]^2$

$[f(x)]^2 = \frac{a_0^2}{4} + a_0\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))$

$+ \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}(a_m\cos(mx) + b_m\sin(mx))(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))$

$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0^2}{4} dx$

$+ \frac{a_0}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))dx$

$+ \frac{1}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\int_{-\pi}^{\pi}(a_m\cos(mx) + b_m\sin(mx))(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))dx$

Del segundo término:

$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)dx = 0$ y $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx = 0$ para $n \geq 1$

Del tercer término, las integrales son:

• $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)dx = 0$ si $m \neq n$, $\pi$ si $m = n$
• $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)dx = 0$ si $m \neq n$, $\pi$ si $m = n$
• $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\sin(nx)dx = 0$ para todos $m, n$

El primer término: $\frac{1}{\pi} \cdot \frac{a_0^2}{4} \cdot 2\pi = \frac{a_0^2}{2}$

El segundo término: $0$ (por ortogonalidad)

El tercer término: Solo sobreviven los términos con $m = n$:

$\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}[a_n^2 \cdot \pi + b_n^2 \cdot \pi] = \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2)$

$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2)$

Esta es la identidad de Parseval, que establece que la energía total de la función es igual a la suma de las energías de sus componentes armónicos.

Sea $u(x,t) = X(x)T(t)$. Sustituyendo en la ecuación:

$X(x)T'(t) = kX''(x)T(t)$

$\frac{T'(t)}{kT(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)} = -\lambda$ (constante de separación)

$X''(x) + \lambda X(x) = 0$ con $X(0) = X(L) = 0$

Para $\lambda > 0$, sea $\lambda = \mu^2$:

$X(x) = A\cos(\mu x) + B\sin(\mu x)$

De $X(0) = 0$: $A = 0$

De $X(L) = 0$: $B\sin(\mu L) = 0$

Para soluciones no triviales: $\mu_n = \frac{n\pi}{L}$, $n = 1, 2, 3, ...$

$X_n(x) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

$T'(t) + k\lambda_n T(t) = 0$ donde $\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$

$T_n(t) = e^{-k\lambda_n t} = e^{-k(n\pi/L)^2 t}$

$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-k(n\pi/L)^2 t}$

$u(x,0) = f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$

Los coeficientes son:

$A_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$

$u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{2}{L}\int_0^L f(\xi) \sin\left(\frac{n\pi \xi}{L}\right) d\xi\right] \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-k(n\pi/L)^2 t}$

Alternativamente, usando $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$:

$u(x,t) = \sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} C_n e^{in\pi x/L} e^{-k(n\pi/L)^2 t}$

donde los $C_n$ se determinan por la transformada de Fourier compleja de la condición inicial.