Ejercicios resueltos de operaciones modulares

$156 = 6 \times 23 + 18 \Rightarrow 156 \equiv 18 \pmod{23}$

$239 = 10 \times 23 + 9 \Rightarrow 239 \equiv 9 \pmod{23}$

$87 = 3 \times 23 + 18 \Rightarrow 87 \equiv 18 \pmod{23}$

$(156 + 239) \times 87 \equiv (18 + 9) \times 18 \pmod{23}$

$\equiv 27 \times 18 \pmod{23}$

$27 = 1 \times 23 + 4 \Rightarrow 27 \equiv 4 \pmod{23}$

$4 \times 18 = 72$

$72 = 3 \times 23 + 3 \Rightarrow 72 \equiv 3 \pmod{23}$

$(156 + 239) \times 87 \equiv 3 \pmod{23}$

Verificación directa: $(156 + 239) \times 87 = 395 \times 87 = 34365$

$34365 = 1494 \times 23 + 3 \Rightarrow 34365 \equiv 3 \pmod{23}$ $\checkmark$

$43 = 32 + 8 + 2 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^1 + 2^0$

$43_{10} = 101011_2$

$7^1 \equiv 7 \pmod{13}$

$7^2 \equiv 49 \equiv 10 \pmod{13}$ (ya que $49 = 3 \times 13 + 10$)

$7^4 \equiv (7^2)^2 \equiv 10^2 \equiv 100 \equiv 9 \pmod{13}$ (ya que $100 = 7 \times 13 + 9$)

$7^8 \equiv (7^4)^2 \equiv 9^2 \equiv 81 \equiv 3 \pmod{13}$ (ya que $81 = 6 \times 13 + 3$)

$7^{16} \equiv (7^8)^2 \equiv 3^2 \equiv 9 \pmod{13}$

$7^{32} \equiv (7^{16})^2 \equiv 9^2 \equiv 81 \equiv 3 \pmod{13}$

$7^{43} = 7^{32} \times 7^8 \times 7^2 \times 7^1$

$\equiv 3 \times 3 \times 10 \times 7 \pmod{13}$

$3 \times 3 = 9$

$9 \times 10 = 90 \equiv 12 \pmod{13}$ (ya que $90 = 6 \times 13 + 12$)

$12 \times 7 = 84 \equiv 6 \pmod{13}$ (ya que $84 = 6 \times 13 + 6$)

$7^{43} \equiv 6 \pmod{13}$

Como $7$ es primo y $\gcd(2, 7) = 1$, por el Pequeño Teorema de Fermat:

$2^{7-1} \equiv 2^6 \equiv 1 \pmod{7}$

$100 = 6 \times 16 + 4$

Por tanto: $2^{100} = 2^{6 \times 16 + 4} = (2^6)^{16} \times 2^4$

$2^{100} \equiv 1^{16} \times 2^4 \equiv 2^4 \pmod{7}$

$2^4 = 16 = 2 \times 7 + 2$

Por tanto: $2^4 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^{100} \equiv 2 \pmod{7}$

Verificación: Calculamos directamente las primeras potencias:

$2^1 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

$2^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

$2^4 \equiv 2 \pmod{7}$

$2^5 \equiv 4 \pmod{7}$

$2^6 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

El patrón se repite cada 3 pasos: $2, 4, 1, 2, 4, 1, \ldots$

Como $100 = 3 \times 33 + 1$, entonces $2^{100} \equiv 2^1 \equiv 2 \pmod{7}$ $\checkmark$

Caso 1: Si $n \equiv 0 \pmod{5}$, entonces $n^5 \equiv 0^5 \equiv 0 \equiv n \pmod{5}$ $\checkmark$

Caso 2: Si $n \not\equiv 0 \pmod{5}$, entonces $\gcd(n, 5) = 1$

Por el Pequeño Teorema de Fermat: $n^{5-1} \equiv n^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Multiplicando ambos lados por $n$: $n^5 \equiv n \pmod{5}$ $\checkmark$

$1^5 = 1 \equiv 1 \pmod{5}$ $\checkmark$

$2^5 = 32 \equiv 2 \pmod{5}$ (ya que $32 = 6 \times 5 + 2$) $\checkmark$

$3^5 = 243 \equiv 3 \pmod{5}$ (ya que $243 = 48 \times 5 + 3$) $\checkmark$

$4^5 = 1024 \equiv 4 \pmod{5}$ (ya que $1024 = 204 \times 5 + 4$) $\checkmark$

Primero encontramos $3847 \pmod{5}$:

$3847 = 769 \times 5 + 2$

Por tanto: $3847 \equiv 2 \pmod{5}$

$3847^5 \equiv 2^5 \equiv 2 \pmod{5}$

$3847^5 \equiv 2 \pmod{5}$

Esto significa que el último dígito de $3847^5$ en base 10 termina en 2 o 7 (los números que son $\equiv 2 \pmod{5}$).