Ejercicios resueltos de ecuaciones diofánticas

$\gcd(21, 14) = \gcd(21, 14)$

Usando el algoritmo de Euclides:

$21 = 1 \times 14 + 7$

$14 = 2 \times 7 + 0$

Por tanto, $\gcd(21, 14) = 7$

Como $\gcd(21, 14) = 7$ y $7 | 35$ (ya que $35 = 5 \times 7$), la ecuación tiene solución.

Dividiendo toda la ecuación por 7:

$\frac{21x + 14y = 35}{7} \Rightarrow 3x + 2y = 5$

Para $3x + 2y = 5$, necesitamos expresar $\gcd(3, 2) = 1$ como combinación lineal:

$3 = 1 \times 2 + 1$

$2 = 2 \times 1 + 0$

Trabajando hacia atrás:

$1 = 3 - 1 \times 2$

Por tanto: $3(1) + 2(-1) = 1$

Para obtener $3x + 2y = 5$, multiplicamos por 5:

$3(5) + 2(-5) = 5$

Solución particular: $x_0 = 5$, $y_0 = -5$

La solución general es:

$x = 5 + \frac{2}{1}t = 5 + 2t$

$y = -5 - \frac{3}{1}t = -5 - 3t$

donde $t \in \mathbb{Z}$

$21(5 + 2t) + 14(-5 - 3t) = 105 + 42t - 70 - 42t = 35$ $\checkmark$

Ejemplos de soluciones:

• Para $t = 0$: $(x, y) = (5, -5)$
• Para $t = -1$: $(x, y) = (3, -2)$
• Para $t = 1$: $(x, y) = (7, -8)$

$\gcd(15, 25)$

Usando el algoritmo de Euclides:

$25 = 1 \times 15 + 10$

$15 = 1 \times 10 + 5$

$10 = 2 \times 5 + 0$

Por tanto, $\gcd(15, 25) = 5$

Para que $15x + 25y = 18$ tenga solución, debe cumplirse que $\gcd(15, 25) | 18$.

$5 \nmid 18$ (ya que $18 = 3 \times 5 + 3$)

Por tanto, la ecuación NO tiene soluciones enteras.

Las ecuaciones con término independiente múltiplo de 5 más cercanas a 18 son:

• $15x + 25y = 15$ (diferencia: $|18 - 15| = 3$)
• $15x + 25y = 20$ (diferencia: $|18 - 20| = 2$)

La más próxima es $15x + 25y = 20$.

Dividiendo por $\gcd(15, 25) = 5$:

$3x + 5y = 4$

Del algoritmo extendido aplicado a $\gcd(3, 5) = 1$:

$5 = 1 \times 3 + 2$

$3 = 1 \times 2 + 1$

$2 = 2 \times 1 + 0$

Trabajando hacia atrás:

$1 = 3 - 1 \times 2 = 3 - 1 \times (5 - 1 \times 3) = 2 \times 3 - 1 \times 5$

Por tanto: $3(2) + 5(-1) = 1$

Multiplicando por 4: $3(8) + 5(-4) = 4$

Solución particular: $x_0 = 8$, $y_0 = -4$

$x = 8 + 5t$

$y = -4 - 3t$

donde $t \in \mathbb{Z}$

Verificación: $15(8 + 5t) + 25(-4 - 3t) = 120 + 75t - 100 - 75t = 20$ $\checkmark$

Sumando las dos ecuaciones:

$(2x + 3y + z) + (x + 2y - z) = 7 + 1$

$3x + 5y = 8$

$3x + 5y = 8$

Como $\gcd(3, 5) = 1$ y $1 | 8$, la ecuación tiene solución.

Del algoritmo extendido para $\gcd(3, 5) = 1$:

$5 = 1 \times 3 + 2$

$3 = 1 \times 2 + 1$

Trabajando hacia atrás:

$1 = 3 - 1 \times 2 = 3 - 1 \times (5 - 1 \times 3) = 2 \times 3 - 1 \times 5$

Para $3x + 5y = 8$:

$3(16) + 5(-8) = 8$ (multiplicando por 8)

Simplificando: $3(-4) + 5(4) = 8$

Solución particular: $x = -4$, $y = 4$

$x = -4 + 5t$

$y = 4 - 3t$

donde $t \in \mathbb{Z}$

$2x + 3y + z = 7$

$z = 7 - 2x - 3y$

Sustituyendo:

$z = 7 - 2(-4 + 5t) - 3(4 - 3t)$

$z = 7 + 8 - 10t - 12 + 9t$

$z = 3 - t$

$\begin{cases} x = -4 + 5t \\ y = 4 - 3t \\ z = 3 - t \end{cases}$

donde $t \in \mathbb{Z}$

Primera ecuación: $2(-4 + 5t) + 3(4 - 3t) + (3 - t) = -8 + 10t + 12 - 9t + 3 - t = 7$ $\checkmark$

Segunda ecuación: $(-4 + 5t) + 2(4 - 3t) - (3 - t) = -4 + 5t + 8 - 6t - 3 + t = 1$ $\checkmark$

Ejemplos de soluciones:

• Para $t = 0$: $(x, y, z) = (-4, 4, 3)$
• Para $t = 1$: $(x, y, z) = (1, 1, 2)$
• Para $t = -1$: $(x, y, z) = (-9, 7, 4)$

Si $x$ es el número de cajas de 12 unidades e $y$ es el número de cajas de 18 unidades:

$12x + 18y = 132$

donde $x, y \geq 0$ (condiciones físicas del problema)

$\gcd(12, 18) = 6$

Dividiendo toda la ecuación por 6:

$2x + 3y = 22$

Como $\gcd(2, 3) = 1$ y $1 | 22$, la ecuación tiene solución.

Para $\gcd(2, 3) = 1$:

$3 = 1 \times 2 + 1$

$1 = 3 - 1 \times 2$

Por tanto: $2(-1) + 3(1) = 1$

Para $2x + 3y = 22$, multiplicamos por 22:

$2(-22) + 3(22) = 22$

Simplificando: $2(8) + 3(2) = 22$

Solución particular: $x_0 = 8$, $y_0 = 2$

$x = 8 + 3t$

$y = 2 - 2t$

donde $t \in \mathbb{Z}$

Necesitamos $x \geq 0$ e $y \geq 0$:

De $x = 8 + 3t \geq 0$: $t \geq -\frac{8}{3} = -2.67$, entonces $t \geq -2$

De $y = 2 - 2t \geq 0$: $t \leq 1$

Por tanto: $-2 \leq t \leq 1$, con $t \in \mathbb{Z}$

Para $t = -2$: $x = 8 + 3(-2) = 2$, $y = 2 - 2(-2) = 6$

Para $t = -1$: $x = 8 + 3(-1) = 5$, $y = 2 - 2(-1) = 4$

Para $t = 0$: $x = 8 + 3(0) = 8$, $y = 2 - 2(0) = 2$

Para $t = 1$: $x = 8 + 3(1) = 11$, $y = 2 - 2(1) = 0$

Verificamos cada solución:

1. $12(2) + 18(6) = 24 + 108 = 132$ $\checkmark$
2. $12(5) + 18(4) = 60 + 72 = 132$ $\checkmark$
3. $12(8) + 18(2) = 96 + 36 = 132$ $\checkmark$
4. $12(11) + 18(0) = 132 + 0 = 132$ $\checkmark$

Respuesta: El comerciante puede formar 132 unidades de 4 maneras diferentes:

• 2 cajas de 12 y 6 cajas de 18
• 5 cajas de 12 y 4 cajas de 18
• 8 cajas de 12 y 2 cajas de 18
• 11 cajas de 12 y 0 cajas de 18