Ejercicios resueltos de sistemas con parámetros

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 2 & 3 & 1 & \mid & a \\ 1 & a & 2 & \mid & 3 \end{pmatrix}$

$f_{21}(-2), f_{31}(-1)$:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \mid & a-2 \\ 0 & a-1 & 1 & \mid & 2 \end{pmatrix}$

$f_{32}(-(a-1))$:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \mid & a-2 \\ 0 & 0 & 1+(a-1) & \mid & 2-(a-1)(a-2) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \mid & a-2 \\ 0 & 0 & a & \mid & 2-(a^2-3a+2) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \mid & a-2 \\ 0 & 0 & a & \mid & -a^2+3a \end{pmatrix}$

Caso 1: $a \neq 0$

$\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = 3$ → Solución única

Caso 2: $a = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 1 & -1 & \mid & -2 \\ 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \end{pmatrix}$

$\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = 2 < 3$ → Infinitas soluciones

Para $a \neq 0$: $z = \frac{-a^2+3a}{a} = 3-a$

$y = (a-2) + z = (a-2) + (3-a) = 1$

$x = 1 - y - z = 1 - 1 - (3-a) = a-3$

Para $a = 0$: Variable libre $z = t$, $y = -2 + t$, $x = 1 - (-2 + t) - t = 3 - 2t$

Resumen:

• $a \neq 0$: Solución única $(a-3, 1, 3-a)$
• $a = 0$: Infinitas soluciones $(3-2t, -2+t, t)$ donde $t \in \mathbb{R}$

El sistema homogéneo tiene soluciones no triviales si y solo si $\text{det}(A) = 0$

$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} k & 1 & -1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & -1 & k \end{vmatrix}$

Desarrollando por la primera fila:

$= k \begin{vmatrix} k & 1 \\ -1 & k \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & k \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$

$= k(k^2 + 1) - 1(k - 1) - 1(-1 - k)$

$= k^3 + k - k + 1 + 1 + k = k^3 + k + 2$

Probando valores enteros: $k = -1$

$(-1)^3 + (-1) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$ ✓

Factorizando: $k^3 + k + 2 = (k + 1)(k^2 - k + 2)$

Para $k^2 - k + 2 = 0$: $k = \frac{1 \pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2}$ (raíces complejas)

Sistema: $\begin{cases} -x + y - z = 0 \\ x - y + z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$

La primera y segunda ecuación son opuestas, y de la tercera: $x - y - z = 0$

Combinando con la primera: $x - y = z$ y $-x + y = z$, por tanto $z = 0$

Con $z = 0$: $x = y$

Solución no trivial: $(t, t, 0)$ donde $t \neq 0$

Conclusión: $k = -1$ es el único valor real para el cual existen soluciones no triviales

$\begin{pmatrix} 1 & m & 1 & \mid & 1 \\ m & 1 & 1 & \mid & m \\ 1 & 1 & m & \mid & m^2 \end{pmatrix}$

$f_{21}(-m), f_{31}(-1)$:

$\begin{pmatrix} 1 & m & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 1-m^2 & 1-m & \mid & 0 \\ 0 & 1-m & m-1 & \mid & m^2-1 \end{pmatrix}$

Para $m = 1$:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mid & 0 \end{pmatrix}$

$\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = 1 < 3$ → Infinitas soluciones

Para $m = -1$:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 0 & 2 & \mid & 0 \\ 0 & 2 & -2 & \mid & 0 \end{pmatrix}$

$f_{23}$: $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 2 & -2 & \mid & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \mid & 0 \end{pmatrix}$

$\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = 3$ → Solución única

Para $1 - m^2 \neq 0$, podemos continuar:

$f_{32}(-\frac{1-m}{1-m^2}) = f_{32}(-\frac{1}{1+m})$:

El elemento $(3{,}3)$ será: $(m-1) - \frac{1-m}{1+m} = (m-1)\left(1 + \frac{1}{1+m}\right) = \frac{(m-1)(m+2)}{m+1}$, y el término independiente sigue siendo $m^2-1$ (el de la fila 2 es 0). Es coherente con $\det(A) = -(m-1)^2(m+2)$.

Si $m \neq 1, -1, -2$: $\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = 3$ → Solución única

Si $m = -2$: la tercera fila queda $(0 \ \ 0 \ \ 0 \mid 3)$, $\text{rango}(A) = 2$, $\text{rango}([A \mid b]) = 3$ → Sin solución (sumando las tres ecuaciones se obtiene $0 = 3$)

Resumen:

• $m = 1$: Infinitas soluciones
• $m = -2$: Sin solución
• $m \neq 1, -2$: Solución única

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & \mid & 180 \\ 1 & 3 & 1 & \mid & 150 \\ 1 & 1 & \lambda & \mid & 120 \end{pmatrix}$

$f_{21}(-\frac{1}{2}), f_{31}(-\frac{1}{2})$:

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & \mid & 180 \\ 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & \mid & 60 \\ 0 & \frac{1}{2} & \lambda - \frac{3}{2} & \mid & 30 \end{pmatrix}$

$f_{32}(-\frac{1}{5})$:

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & \mid & 180 \\ 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & \mid & 60 \\ 0 & 0 & \lambda - \frac{3}{2} + \frac{1}{10} & \mid & 30 - 12 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & \mid & 180 \\ 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & \mid & 60 \\ 0 & 0 & \lambda - \frac{7}{5} & \mid & 18 \end{pmatrix}$

Caso 1: $\lambda \neq \frac{7}{5}$

Solución única: $x_3 = \frac{18}{\lambda - \frac{7}{5}} = \frac{90}{5\lambda - 7}$

$x_2 = \frac{60 + \frac{1}{2}x_3}{\frac{5}{2}} = \frac{120 + x_3}{5} = \frac{120 + \frac{90}{5\lambda-7}}{5}$

$x_1 = \frac{180 - x_2 - 3x_3}{2}$

Caso 2: $\lambda = \frac{7}{5}$

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & \mid & 180 \\ 0 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} & \mid & 60 \\ 0 & 0 & 0 & \mid & 18 \end{pmatrix}$

$\text{rango}(A) = 2$, $\text{rango}([A \mid b]) = 3$ → Sin solución

Para que las soluciones sean no negativas:

• $x_3 \geq 0$: $\frac{90}{5\lambda-7} \geq 0 \Rightarrow \lambda > \frac{7}{5}$
• $x_2 \geq 0$: $120 + \frac{90}{5\lambda-7} \geq 0$ (siempre cierto para $\lambda > \frac{7}{5}$)
• $x_1 \geq 0$: $x_1 = \frac{180 - x_2 - 3x_3}{2} = \frac{30(13\lambda - 23)}{5\lambda - 7} \geq 0 \Rightarrow \lambda \geq \frac{23}{13} \approx 1{,}77$

Para $\lambda = 2$: $x_3 = \frac{90}{10-7} = 30$

$x_2 = \frac{120 + 30}{5} = 30$

$x_1 = \frac{180 - 30 - 90}{2} = 30$

Producción resultante: $(30, 30, 30)$ unidades cuando $\lambda = 2$

Conclusión:

• $\lambda \geq \frac{23}{13}$: solución única con producción no negativa (físicamente realizable)
• $\frac{7}{5} < \lambda < \frac{23}{13}$: solución única, pero con $x_1 < 0$ (no realizable)
• $\lambda = \frac{7}{5}$: Sistema incompatible
• $\lambda < \frac{7}{5}$: solución única con $x_3 < 0$ (no realizable)