Ejercicios resueltos de determinantes

Para una matriz $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$, el determinante es $ad - bc$

a) $\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = 5 \cdot 7 - 3 \cdot 2 = 35 - 6 = 29$

b) $\begin{vmatrix} -4 & 6 \\ 8 & -12 \end{vmatrix} = (-4) \cdot (-12) - 6 \cdot 8 = 48 - 48 = 0$

Interpretación: El segundo determinante es cero porque la segunda fila es $-2$ veces la primera fila, indicando que las filas son linealmente dependientes.

$\text{det}(A) = 1 \cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + 4 \cdot (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} + 0 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1)(5) - (3)(2) = -5 - 6 = -11$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = (2)(5) - (3)(-3) = 10 + 9 = 19$

$\text{det}(A) = 1 \cdot (-1) \cdot (-11) + 4 \cdot (1) \cdot (19) + 0$

$= 11 + 76 = 87$

Verificación por desarrollo por la primera fila:

$\text{det}(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

$= 2(20) + 1(5) + 3(14) = 40 + 5 + 42 = 87$ ✓

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$

$f_{21}(-3), f_{31}(-2)$:

$= \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & -5 & 5 \end{vmatrix}$

$f_{32}(-1)$:

$= \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal.

$\text{det}(A) = 1 \cdot (-5) \cdot 0 = 0$

Interpretación: El determinante es cero porque la tercera fila se convirtió en fila nula, indicando que las filas originales son linealmente dependientes.

Verificación: La tercera fila es la segunda menos la primera:

$(2,-1{,}3) = (3{,}1{,}2) - (1{,}2,-1)$ ✓

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$

$|A| = 2 \cdot 1 - 5 \cdot 3 = 2 - 15 = -13$

$|A^T| = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 5 = 2 - 15 = -13$ ✓

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

$|A| = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 0 = 3$

$|B| = 4 \cdot 5 - 1 \cdot 2 = 20 - 2 = 18$

$|A||B| = 3 \cdot 18 = 54$

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 11 \\ 6 & 15 \end{pmatrix}$

$|AB| = 8 \cdot 15 - 11 \cdot 6 = 120 - 66 = 54$ ✓

Sea $C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $|C| = 6 - 4 = 2$

Intercambiando filas: $C' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $|C'| = 4 - 6 = -2$

Verificamos: $|C'| = -|C|$ ✓

Conclusión: Las propiedades fundamentales de los determinantes se cumplen en todos los casos verificados.