Ejercicios resueltos de análisis de soluciones

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & \mid & 6 \\ 4 & k & \mid & 12 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 3 & \mid & 6 \\ 0 & k-6 & \mid & 0 \end{pmatrix}$

• Si $k \neq 6$: $\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = 2$ → Solución única
• Si $k = 6$: $\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = 1 < 2$ → Infinitas soluciones

Conclusión:

• $k \neq 6$: Sistema compatible determinado
• $k = 6$: Sistema compatible indeterminado (la segunda ecuación es múltiplo de la primera)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \mid & a \\ 3 & 6 & \mid & b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & \mid & a \\ 0 & 0 & \mid & b-3a \end{pmatrix}$

• Si $b - 3a = 0 \Rightarrow b = 3a$: $\text{rango}(A) = \text{rango}([A \mid b]) = 1$ → Infinitas soluciones
• Si $b - 3a \neq 0 \Rightarrow b \neq 3a$: $\text{rango}(A) = 1$, $\text{rango}([A \mid b]) = 2$ → Sin solución

Variable libre: $y = t$

$x + 2t = a \Rightarrow x = a - 2t$

Solución general: $x = a - 2t$, $y = t$ con $t \in \mathbb{R}$ (cuando $b = 3a$)

$\begin{pmatrix} m & 1 & \mid & 2 \\ 2 & m & \mid & m+1 \end{pmatrix}$

$\text{det}(A) = m^2 - 2$

Si $m^2 = 2 \Rightarrow m = \pm\sqrt{2}$, necesitamos analizar caso por caso.

Para $m = \sqrt{2}$: $f_{21}(-2/\sqrt{2}) = f_{21}(-\sqrt{2})$

$\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & \mid & 2 \\ 0 & \sqrt{2} - \sqrt{2} & \mid & \sqrt{2}+1-2\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 1-\sqrt{2} \end{pmatrix}$

Para $m = -\sqrt{2}$: análogamente

$\begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 1 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & -\sqrt{2}+1+2\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 1 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 1+\sqrt{2} \end{pmatrix}$

• a) Solución única: $m^2 \neq 2 \Rightarrow m \neq \pm\sqrt{2}$
• b) Infinitas soluciones: Nunca (el término independiente no se anula para los valores críticos)
• c) Sin solución: $m = \pm\sqrt{2}$ (término independiente no nulo en fila de ceros)

Un sistema homogéneo siempre tiene la solución trivial $(x,y) = (0{,}0)$.

Para que tenga soluciones no triviales, el sistema debe ser compatible indeterminado.

El sistema es indeterminado cuando $\text{rango}(A) < 2$, es decir, cuando $\text{det}(A) = ad - bc = 0$

Demostración:

• Si $ad - bc \neq 0$: El sistema tiene solución única $(0{,}0)$ (solo trivial)
• Si $ad - bc = 0$: Las filas son proporcionales, $\text{rango}(A) = 1 < 2$, por tanto hay infinitas soluciones

Con $a=3, b=6, c=2, d=4$:

$\text{det}(A) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0$ ✓

Sistema: $\begin{cases} 3x + 6y = 0 \\ 2x + 4y = 0 \end{cases}$

La segunda ecuación es $\frac{2}{3}$ de la primera, por tanto trabajamos con una sola:

$3x + 6y = 0 \Rightarrow x + 2y = 0 \Rightarrow x = -2y$

Solución general: $(x,y) = (-2t, t)$ donde $t \in \mathbb{R}, t \neq 0$ para soluciones no triviales

Ejemplos de soluciones no triviales: $(-2{,}1)$, $(2,-1)$, $(-4{,}2)$, etc.